Mathematics: 425 MCQs with Answers

दिया गया गुणनफल एक ही आधार 9 की घातों का है, अतः घातांकों को जोड़ा जा सकता है। घातांकों की श्रेणी 1/3 + 1/9 + 1/27 + … एक अनन्त गुणोत्तर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद 1/3 तथा सार्व अनुपात भी 1/3 है। अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योग a बटा एक घटा r के सूत्र से निकलता है, अतः योग 1/3 को 2/3 से भाग देने पर 1/2 प्राप्त होता है। इस प्रकार सम्पूर्ण गुणनफल 9 की घात एक बटा दो अर्थात् 9 का वर्गमूल बनता है, जो 3 है।

दिया गया फलन f(x) = x¹⁰⁰ + x⁹⁹ + … + x + 1 है। प्रत्येक पद का अवकलन करने पर f′(x) = 100x⁹⁹ + 99x⁹⁸ + … + 2x + 1 प्राप्त होता है, क्योंकि अचर पद 1 का अवकलज शून्य होता है। अब x = 1 रखने पर प्रत्येक घात का मान एक हो जाता है, अतः f′(1) = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1 बनता है। यह प्रथम सौ प्राकृत संख्याओं का योग है, जिसका सूत्र n(n+1)/2 है; अतः 100 × 101 बटा 2 अर्थात् 5050 उत्तर प्राप्त होता है।

दो सदिशों के बीच कोण निकालने के लिए cos θ बराबर उनके अदिश गुणनफल को उनके परिमाणों के गुणनफल से भाग देकर प्राप्त किया जाता है। यहाँ अदिश गुणनफल 5 गुणा 6 जोड़ 3 गुणा ऋण 8 जोड़ 4 गुणा ऋण 1 अर्थात् 30 घटा 24 घटा 4 बराबर 2 है। प्रथम सदिश का परिमाण मूल 25 जोड़ 9 जोड़ 16 अर्थात् मूल 50 तथा द्वितीय का मूल 36 जोड़ 64 जोड़ 1 अर्थात् मूल 101 है। अतः cos θ बराबर 2 बटा 5√2 गुणा √101, जिसे सरल करने पर √2 बटा 5√101 प्राप्त होता है।

सर्वप्रथम दोनों संयुक्त सदिश ज्ञात किए जाते हैं। a⃗ जोड़ 3b⃗ बराबर î जोड़ ĵ जोड़ 2k̂ जोड़ 9î जोड़ 6ĵ घटा 3k̂ अर्थात् 10î जोड़ 7ĵ घटा k̂ होता है। इसी प्रकार 2a⃗ घटा b⃗ बराबर 2î जोड़ 2ĵ जोड़ 4k̂ घटा 3î घटा 2ĵ जोड़ k̂ अर्थात् ऋण î जोड़ 0ĵ जोड़ 5k̂ बनता है। अब अदिश गुणनफल लेने पर 10 गुणा ऋण 1 जोड़ 7 गुणा 0 जोड़ ऋण 1 गुणा 5 अर्थात् ऋण 10 जोड़ 0 घटा 5 बराबर ऋण 15 प्राप्त होता है।

हर को पूर्ण वर्ग में बदलने पर x² जोड़ 2x जोड़ 5 बराबर (x जोड़ 1)² जोड़ 4 प्राप्त होता है। अतः समाकल का रूप ∫ dx बटा ((x+1)² जोड़ 2²) बन जाता है, जिसका मानक समाकलन एक बटा 2 गुणा tan⁻¹((x+1)/2) होता है। अब सीमाएँ रखने पर ऊपरी सीमा x बराबर 1 पर tan⁻¹(1) अर्थात् π/4 तथा निचली सीमा x बराबर ऋण 1 पर tan⁻¹(0) अर्थात् शून्य मिलता है। दोनों का अन्तर लेकर आधे से गुणा करने पर π बटा 8 उत्तर प्राप्त होता है।

भागफल के मापांक का नियम यह है कि वह अंश के मापांक को हर के मापांक से भाग देने पर प्राप्त होता है। अंश i घटा 1 अर्थात् ऋण 1 जोड़ i का मापांक मूल एक जोड़ एक अर्थात् √2 है। हर cos π/3 जोड़ i sin π/3 का मापांक मूल cos² जोड़ sin² अर्थात् एक होता है, क्योंकि किसी भी कोण के लिए यह सर्वसमिका सदैव सत्य है। अतः सम्पूर्ण संख्या का मापांक √2 बटा 1 अर्थात् √2 प्राप्त होता है। हर मात्र संख्या को घुमाता है, उसका परिमाण नहीं बदलता।

तीन बिन्दु तभी संरेख होते हैं जब उनसे बनने वाले सदिश समानान्तर हों, अर्थात् उनके संगत घटकों का अनुपात समान हो। यहाँ प्रथम एवं द्वितीय बिन्दु से बना सदिश 3î जोड़ (m जोड़ 1)ĵ जोड़ 3k̂ है, तथा प्रथम एवं तृतीय बिन्दु से बना सदिश 4î जोड़ 12ĵ जोड़ 4k̂ है। समानान्तरता के लिए 3 बटा 4 बराबर (m जोड़ 1) बटा 12 बराबर 3 बटा 4 होना चाहिए। मध्य अनुपात से m जोड़ 1 बराबर 9 प्राप्त होता है, अतः m का मान 8 है।

मापांक की परिभाषा के अनुसार |x जोड़ 2| ≤ 5 का अर्थ है कि x जोड़ 2 का मान ऋण 5 तथा धन 5 के बीच रहेगा, दोनों सीमाएँ सम्मिलित। अतः असमिका ऋण 5 ≤ x जोड़ 2 ≤ 5 के रूप में लिखी जाती है। अब तीनों पक्षों में से 2 घटाने पर ऋण 7 ≤ x ≤ 3 प्राप्त होता है। चूँकि असमिका में बराबर का चिह्न सम्मिलित है, अतः दोनों अन्त्य बिन्दु हल में आएँगे और हल समुच्चय संवृत अन्तराल के रूप में ऋण 7 से 3 तक लिखा जाएगा।

दिए गए फलन का अवकलन करने पर f′(x) बराबर ऋण 7 बटा x² प्राप्त होता है। यहाँ x² सदैव धनात्मक रहता है, क्योंकि x शून्य नहीं है, अतः अवकलज का चिह्न सदैव ऋणात्मक बना रहता है। किसी फलन का अवकलज ऋणात्मक होने का अर्थ है कि वह अपने प्रान्त में ह्रासमान है, अर्थात् x बढ़ने पर f(x) घटता जाता है। यही कारण है कि इसका आलेख समकोणीय अतिपरवलय के रूप में दोनों चतुर्थांशों में नीचे की ओर ढलान रखता है और यह फलन ह्रासमान कहलाता है।

मानक अतिपरवलय x² बटा a² घटा y² बटा b² बराबर एक के लिए नाभिलंब जीवा की लम्बाई 2b² बटा a होती है। अब प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर दूसरे विकल्प में a² बराबर 25 अर्थात् a बराबर 5 तथा b² बराबर 20 मिलता है। इन्हें सूत्र में रखने पर नाभिलंब जीवा 2 गुणा 20 बटा 5 अर्थात् ठीक 8 प्राप्त होती है, जो दी गई शर्त के अनुरूप है। शेष विकल्पों में यह मान क्रमशः भिन्न आता है, और प्रथम विकल्प तो संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण है।

माना रेखा x जोड़ y बराबर 4 दिए गए बिन्दुओं को k अनुपात 1 में विभाजित करती है। विभाजन सूत्र से विभाजन बिन्दु के निर्देशांक (5k घटा 1) बटा (k जोड़ 1) तथा (7k जोड़ 1) बटा (k जोड़ 1) होंगे। यह बिन्दु रेखा पर स्थित है, अतः दोनों निर्देशांकों का योग 4 के बराबर होगा। इससे 12k बराबर 4k जोड़ 4 प्राप्त होता है, अर्थात् 8k बराबर 4 और k बराबर आधा। अतः अभीष्ट अनुपात एक अनुपात दो है और विभाजन अन्तः रूप से होता है।

प्रत्येक पंक्ति से क्रमशः 10!, 11! तथा 12! सर्वनिष्ठ गुणनखण्ड के रूप में बाहर निकाले जाते हैं। ऐसा करने पर शेष सारणिक की पंक्तियाँ क्रमशः 1, 11, 132; 1, 12, 156 तथा 1, 13, 182 बन जाती हैं। अब पंक्ति संक्रियाओं द्वारा दूसरी पंक्ति में से पहली तथा तीसरी में से दूसरी घटाने पर सरल रूप प्राप्त होता है और शेष सारणिक का मान 2 निकलता है। अतः सम्पूर्ण सारणिक का मान 2 गुणा 10! गुणा 11! गुणा 12! के बराबर होता है।

समान्तर श्रेणी के n वें पद का सूत्र a जोड़ (n घटा 1)d है। सातवाँ पद 34 तथा तेरहवाँ पद 64 दिया गया है, अतः a जोड़ 6d बराबर 34 तथा a जोड़ 12d बराबर 64 प्राप्त होते हैं। दोनों समीकरणों को घटाने पर 6d बराबर 30 अर्थात् d बराबर 5 निकलता है। इसे प्रथम समीकरण में रखने पर a बराबर 34 घटा 30 अर्थात् 4 मिलता है। अब अठारहवाँ पद a जोड़ 17d अर्थात् 4 जोड़ 17 गुणा 5 बराबर 4 जोड़ 85 अर्थात् 89 प्राप्त होता है।

द्विपद प्रमेय के अनुसार (x जोड़ 2y) की घात नौ के विस्तार का व्यापक पद C(9, r) गुणा x की घात (9 घटा r) गुणा (2y) की घात r होता है। हमें x की घात छह तथा y की घात तीन चाहिए, अतः r बराबर 3 लेना होगा, जिससे x की घात भी ठीक छह हो जाती है। अब गुणांक C(9,3) गुणा 2³ के बराबर होगा। C(9,3) का मान 84 है तथा 2³ बराबर 8, अतः अभीष्ट गुणांक 84 गुणा 8 अर्थात् 672 प्राप्त होता है।

सर्वप्रथम प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात करने के लिए x³ बराबर x जोड़ 6 रखने पर x³ घटा x घटा 6 बराबर शून्य प्राप्त होता है, जिसका वास्तविक मूल x बराबर 2 है। अतः क्षेत्र x बराबर शून्य से x बराबर दो तक फैला है और वहाँ रेखा वक्र के ऊपर रहती है। क्षेत्रफल शून्य से दो तक (x जोड़ 6 घटा x³) dx के समाकलन से मिलेगा। समाकलन करने पर x²/2 जोड़ 6x घटा x⁴/4 प्राप्त होता है, जिसमें सीमाएँ रखने पर 2 जोड़ 12 घटा 4 अर्थात् 10 वर्ग इकाई उत्तर आता है।

किसी खण्डशः परिभाषित फलन के संतत होने के लिए विभाजन बिन्दुओं पर बायाँ पक्षीय सीमा, दायाँ पक्षीय सीमा तथा फलन का मान तीनों बराबर होने चाहिए। x बराबर तीन पर संततता से 3a जोड़ b बराबर 1 प्राप्त होता है, तथा x बराबर पाँच पर संततता से 5a जोड़ b बराबर 7 मिलता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर 2a बराबर 6 अर्थात् a बराबर 3 निकलता है। इसे प्रथम समीकरण में रखने पर b बराबर 1 घटा 9 अर्थात् ऋण 8 प्राप्त होता है।

त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक उसके तीनों शीर्षों के संगत निर्देशांकों के समान्तर माध्य होते हैं। केन्द्रक मूल बिन्दु पर है, अतः तीनों निर्देशांकों के योग शून्य होंगे। x निर्देशांकों से 2a घटा 4 जोड़ 8 बराबर शून्य, जिससे a बराबर ऋण 2 प्राप्त होता है। y निर्देशांकों से 2 जोड़ 3b जोड़ 14 बराबर शून्य, जिससे 3b बराबर ऋण 16 अर्थात् b बराबर ऋण 16 बटा 3 मिलता है। z निर्देशांकों से 6 घटा 10 जोड़ 2c बराबर शून्य, जिससे c बराबर 2 निकलता है।

माना ∛x बराबर t तथा ∛2 बराबर p, तब x बराबर t³ तथा 2 बराबर p³ होगा और x का 2 की ओर अग्रसर होना t का p की ओर अग्रसर होने के तुल्य है। अब व्यंजक (t³ घटा p³) बटा (t घटा p) बन जाता है, जो मानक सीमा सूत्र के अनुसार 3p² के बराबर होती है। यहाँ p बराबर 2 की घात एक बटा तीन है, अतः p² बराबर 2 की घात दो बटा तीन होगा। इस प्रकार सीमा का मान 3 गुणा 2 की घात दो बटा तीन प्राप्त होता है।

दिए गए व्यंजक में मूल के भीतर वही अनन्त व्यंजक पुनः आ रहा है, अतः उसे y से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इससे y बराबर मूल (sin x जोड़ y) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर y² बराबर sin x जोड़ y बनता है। अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2y गुणा dy/dx बराबर cos x जोड़ dy/dx मिलता है। dy/dx को एक ओर लाने पर dy/dx गुणा (2y घटा 1) बराबर cos x होता है, अतः dy/dx बराबर cos x बटा (2y घटा 1) प्राप्त होता है।

आयोटा की घातें चार-चार के चक्र में दोहराई जाती हैं, अतः i⁵ बराबर i, i⁶ बराबर ऋण 1, i⁷ बराबर ऋण i, i⁸ बराबर 1 तथा i⁹ बराबर i होता है। इन सबको जोड़ने पर i घटा 1 घटा i जोड़ 1 जोड़ i अर्थात् केवल i शेष रहता है। अब i को (1 जोड़ i) से भाग देना है; इसके लिए अंश एवं हर दोनों को हर के संयुग्मी (1 घटा i) से गुणा किया जाता है। इससे i(1 घटा i) बटा 2 अर्थात् (i जोड़ 1) बटा 2 प्राप्त होता है।