Mathematics - आँकड़े एवं सांख्यिकी: 13 MCQs with Answers

माध्य, माध्यिका तथा बहुलक के बीच कार्ल पियर्सन का अनुभवजन्य संबंध है — बहुलक = 3 × माध्यिका − 2 × माध्य। यहाँ माध्य 74 तथा बहुलक 29 दिया गया है। सूत्र में मान रखने पर 29 = 3 × माध्यिका − 2 × 74, अर्थात् 29 = 3 × माध्यिका − 148। इससे 3 × माध्यिका = 29 + 148 = 177, जिससे माध्यिका = 59 प्राप्त होती है। यह संबंध असममित (स्क्यूड) बंटन के लिए लागू होता है; पूर्णतः सममित बंटन में तीनों माप बराबर होते हैं। अतः सही उत्तर 59 है।

मानक विचलन की गणना में सर्वप्रथम प्रत्येक प्रेक्षण तथा माध्य के अन्तर का वर्ग लिया जाता है, फिर उन वर्गों का औसत निकालकर उसका धनात्मक वर्गमूल लिया जाता है। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता और वर्गमूल भी धनात्मक ही लिया जाता है, अतः मानक विचलन का संख्यात्मक मान कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। यदि सभी प्रेक्षण आपस में समान हों तो यह शून्य हो सकता है, किन्तु उससे कम कभी नहीं। यही इसका आधारभूत गुण है।

दस संख्याओं का माध्य 96 दिया गया है, अतः उन सबका कुल योग 10 गुणा 96 अर्थात् 960 होगा। इनमें से एक संख्या 150 है, जिसे कुल योग में से घटाने पर शेष नौ संख्याओं का योग 960 घटा 150 अर्थात् 810 प्राप्त होता है। अब शेष नौ संख्याओं का माध्य निकालने के लिए इस योग को नौ से भाग दिया जाता है, जिससे 810 बटा 9 अर्थात् 90 उत्तर मिलता है। ध्यातव्य है कि 150 माध्य से काफी बड़ी थी, इसीलिए उसे हटाने पर माध्य 96 से घटकर 90 हो गया।

सर्वप्रथम दी गई पाँच संख्याओं का माध्य निकाला जाता है। इनका योग 10 जोड़ 9 जोड़ 21 जोड़ 16 जोड़ 24 अर्थात् 80 है, जिसे पाँच से भाग देने पर माध्य 16 प्राप्त होता है। अब प्रत्येक संख्या का माध्य से निरपेक्ष अन्तर लिया जाता है, जो क्रमशः 6, 7, 5, 0 तथा 8 आता है। इन विचलनों का योग 26 है। इसे प्रेक्षणों की संख्या पाँच से भाग देने पर माध्य विचलन 26 बटा 5 अर्थात् 5.2 प्राप्त होता है।

केन्द्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापों के बीच कार्ल पियर्सन का आनुभविक सम्बन्ध लागू होता है, जिसके अनुसार बहुलक बराबर तीन गुणा माध्यिका घटा दो गुणा माध्य होता है। इसे माध्यिका के लिए हल करने पर माध्यिका बराबर बहुलक जोड़ दो गुणा माध्य को तीन से भाग देने पर प्राप्त होती है। यहाँ माध्य 4 तथा बहुलक 10 दिया गया है, अतः 10 जोड़ 8 अर्थात् 18 को तीन से भाग देने पर माध्यिका 6 प्राप्त होती है। यह सम्बन्ध केवल मध्यम रूप से विषम वितरणों में ही लागू होता है।

विचलन गुणांक अथवा विचरण गुणांक सापेक्ष अपकिरण का माप है, जिसका सूत्र मानक विचलन को माध्य से भाग देकर सौ से गुणा करना है। यहाँ माध्य 25 तथा मानक विचलन 8 दिया गया है। इन्हें सूत्र में रखने पर 8 बटा 25 गुणा 100 प्राप्त होता है, जो 32 प्रतिशत के बराबर है। यह माप इसलिए उपयोगी है क्योंकि यह इकाई-निरपेक्ष होता है, अतः भिन्न-भिन्न इकाइयों अथवा भिन्न माध्य वाले दो वितरणों की परिवर्तनशीलता की तुलना इससे सरलता से की जा सकती है।

बहुलक वह मान होता है जो किसी आँकड़ा-समूह में सर्वाधिक बार आता है। दिए गए आँकड़ों 8, 15, 7, 9, 2, 9 तथा x में संख्या 9 पहले से ही दो बार उपस्थित है, जबकि शेष सभी संख्याएँ एक-एक बार। यदि x का मान 9 रख दिया जाए तो 9 की बारम्बारता बढ़कर तीन हो जाएगी और वह निर्विवाद रूप से सर्वाधिक बार आने वाला मान बन जाएगा। यदि x कोई अन्य मान होता तो या तो बहुलक अपरिवर्तित रहता या वितरण बहुबहुलकीय हो जाता।