Mathematics - Coordinate Geometry: 6 MCQs with Answers

मानक अतिपरवलय x² बटा a² घटा y² बटा b² बराबर एक के लिए नाभिलंब जीवा की लम्बाई 2b² बटा a होती है। अब प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर दूसरे विकल्प में a² बराबर 25 अर्थात् a बराबर 5 तथा b² बराबर 20 मिलता है। इन्हें सूत्र में रखने पर नाभिलंब जीवा 2 गुणा 20 बटा 5 अर्थात् ठीक 8 प्राप्त होती है, जो दी गई शर्त के अनुरूप है। शेष विकल्पों में यह मान क्रमशः भिन्न आता है, और प्रथम विकल्प तो संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण है।

माना रेखा x जोड़ y बराबर 4 दिए गए बिन्दुओं को k अनुपात 1 में विभाजित करती है। विभाजन सूत्र से विभाजन बिन्दु के निर्देशांक (5k घटा 1) बटा (k जोड़ 1) तथा (7k जोड़ 1) बटा (k जोड़ 1) होंगे। यह बिन्दु रेखा पर स्थित है, अतः दोनों निर्देशांकों का योग 4 के बराबर होगा। इससे 12k बराबर 4k जोड़ 4 प्राप्त होता है, अर्थात् 8k बराबर 4 और k बराबर आधा। अतः अभीष्ट अनुपात एक अनुपात दो है और विभाजन अन्तः रूप से होता है।

वृत्त के व्यापक समीकरण x² जोड़ y² जोड़ 2gx जोड़ 2fy जोड़ c बराबर शून्य में केन्द्र के निर्देशांक ऋण g तथा ऋण f होते हैं। दिए गए समीकरण की तुलना करने पर 2g बराबर 6 अर्थात् g बराबर 3, तथा 2f बराबर ऋण 4 अर्थात् f बराबर ऋण 2 प्राप्त होता है। अतः केन्द्र के निर्देशांक ऋण 3 तथा 2 होंगे। इसकी त्रिज्या मूल g² जोड़ f² घटा c अर्थात् मूल 9 जोड़ 4 घटा 4 बराबर 3 इकाई है। इसी को पूर्ण वर्ग बनाकर भी सत्यापित किया जा सकता है।

नाभियाँ x अक्ष पर हैं, अतः दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष क्षैतिज है और मानक रूप x² बटा a² जोड़ y² बटा b² बराबर एक होगा, जहाँ a बड़ा है। नाभियों की स्थिति से c बराबर 2 प्राप्त होता है, और उत्केन्द्रता आधी होने पर a बराबर c बटा e अर्थात् 4 निकलता है, जिससे a² बराबर 16 होता है। अब सम्बन्ध b² बराबर a² घटा c² से b² बराबर 16 घटा 4 अर्थात् 12 प्राप्त होता है। अतः अभीष्ट समीकरण x² बटा 16 जोड़ y² बटा 12 बराबर एक है।

मानक परवलय y² बराबर 4ax में 4a बराबर 12 होने से a बराबर 3 प्राप्त होता है, अर्थात् नाभि (3, 0) पर तथा नियता x बराबर ऋण 3 है। परवलय की परिभाषा के अनुसार किसी बिन्दु की नाभि से दूरी उसकी नियता से दूरी के बराबर होती है, और वह दूरी x जोड़ a के रूप में लिखी जाती है। यहाँ नाभि दूरी 4 दी गई है, अतः x जोड़ 3 बराबर 4 होगा। इससे भुज x का मान 1 प्राप्त होता है और उस बिन्दु की कोटि ± 2√3 निकलती है।

दिए गए रेखा-निकाय को सरल करने पर (2 जोड़ 6k)x जोड़ (3 घटा k)y जोड़ (4 जोड़ 12k) बराबर शून्य प्राप्त होता है। दो रेखाएँ परस्पर लम्बवत तभी होती हैं जब उनके गुणांकों के लिए a₁a₂ जोड़ b₁b₂ बराबर शून्य हो। दूसरी रेखा 7x जोड़ 5y घटा 4 बराबर शून्य के गुणांक 7 तथा 5 हैं। अतः 7(2 जोड़ 6k) जोड़ 5(3 घटा k) बराबर शून्य लिखने पर 14 जोड़ 42k जोड़ 15 घटा 5k बराबर शून्य मिलता है, जिससे 37k बराबर ऋण 29 और k बराबर ऋण 29 बटा 37 प्राप्त होता है।