Mathematics - Vectors and Three Dimensional Geometry: 4 MCQs with Answers

दो सदिशों के बीच कोण निकालने के लिए cos θ बराबर उनके अदिश गुणनफल को उनके परिमाणों के गुणनफल से भाग देकर प्राप्त किया जाता है। यहाँ अदिश गुणनफल 5 गुणा 6 जोड़ 3 गुणा ऋण 8 जोड़ 4 गुणा ऋण 1 अर्थात् 30 घटा 24 घटा 4 बराबर 2 है। प्रथम सदिश का परिमाण मूल 25 जोड़ 9 जोड़ 16 अर्थात् मूल 50 तथा द्वितीय का मूल 36 जोड़ 64 जोड़ 1 अर्थात् मूल 101 है। अतः cos θ बराबर 2 बटा 5√2 गुणा √101, जिसे सरल करने पर √2 बटा 5√101 प्राप्त होता है।

सर्वप्रथम दोनों संयुक्त सदिश ज्ञात किए जाते हैं। a⃗ जोड़ 3b⃗ बराबर î जोड़ ĵ जोड़ 2k̂ जोड़ 9î जोड़ 6ĵ घटा 3k̂ अर्थात् 10î जोड़ 7ĵ घटा k̂ होता है। इसी प्रकार 2a⃗ घटा b⃗ बराबर 2î जोड़ 2ĵ जोड़ 4k̂ घटा 3î घटा 2ĵ जोड़ k̂ अर्थात् ऋण î जोड़ 0ĵ जोड़ 5k̂ बनता है। अब अदिश गुणनफल लेने पर 10 गुणा ऋण 1 जोड़ 7 गुणा 0 जोड़ ऋण 1 गुणा 5 अर्थात् ऋण 10 जोड़ 0 घटा 5 बराबर ऋण 15 प्राप्त होता है।

तीन बिन्दु तभी संरेख होते हैं जब उनसे बनने वाले सदिश समानान्तर हों, अर्थात् उनके संगत घटकों का अनुपात समान हो। यहाँ प्रथम एवं द्वितीय बिन्दु से बना सदिश 3î जोड़ (m जोड़ 1)ĵ जोड़ 3k̂ है, तथा प्रथम एवं तृतीय बिन्दु से बना सदिश 4î जोड़ 12ĵ जोड़ 4k̂ है। समानान्तरता के लिए 3 बटा 4 बराबर (m जोड़ 1) बटा 12 बराबर 3 बटा 4 होना चाहिए। मध्य अनुपात से m जोड़ 1 बराबर 9 प्राप्त होता है, अतः m का मान 8 है।

त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक उसके तीनों शीर्षों के संगत निर्देशांकों के समान्तर माध्य होते हैं। केन्द्रक मूल बिन्दु पर है, अतः तीनों निर्देशांकों के योग शून्य होंगे। x निर्देशांकों से 2a घटा 4 जोड़ 8 बराबर शून्य, जिससे a बराबर ऋण 2 प्राप्त होता है। y निर्देशांकों से 2 जोड़ 3b जोड़ 14 बराबर शून्य, जिससे 3b बराबर ऋण 16 अर्थात् b बराबर ऋण 16 बटा 3 मिलता है। z निर्देशांकों से 6 घटा 10 जोड़ 2c बराबर शून्य, जिससे c बराबर 2 निकलता है।