Mathematics - Calculus: 10 MCQs with Answers

दिया गया फलन f(x) = x¹⁰⁰ + x⁹⁹ + … + x + 1 है। प्रत्येक पद का अवकलन करने पर f′(x) = 100x⁹⁹ + 99x⁹⁸ + … + 2x + 1 प्राप्त होता है, क्योंकि अचर पद 1 का अवकलज शून्य होता है। अब x = 1 रखने पर प्रत्येक घात का मान एक हो जाता है, अतः f′(1) = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1 बनता है। यह प्रथम सौ प्राकृत संख्याओं का योग है, जिसका सूत्र n(n+1)/2 है; अतः 100 × 101 बटा 2 अर्थात् 5050 उत्तर प्राप्त होता है।

हर को पूर्ण वर्ग में बदलने पर x² जोड़ 2x जोड़ 5 बराबर (x जोड़ 1)² जोड़ 4 प्राप्त होता है। अतः समाकल का रूप ∫ dx बटा ((x+1)² जोड़ 2²) बन जाता है, जिसका मानक समाकलन एक बटा 2 गुणा tan⁻¹((x+1)/2) होता है। अब सीमाएँ रखने पर ऊपरी सीमा x बराबर 1 पर tan⁻¹(1) अर्थात् π/4 तथा निचली सीमा x बराबर ऋण 1 पर tan⁻¹(0) अर्थात् शून्य मिलता है। दोनों का अन्तर लेकर आधे से गुणा करने पर π बटा 8 उत्तर प्राप्त होता है।

दिए गए फलन का अवकलन करने पर f′(x) बराबर ऋण 7 बटा x² प्राप्त होता है। यहाँ x² सदैव धनात्मक रहता है, क्योंकि x शून्य नहीं है, अतः अवकलज का चिह्न सदैव ऋणात्मक बना रहता है। किसी फलन का अवकलज ऋणात्मक होने का अर्थ है कि वह अपने प्रान्त में ह्रासमान है, अर्थात् x बढ़ने पर f(x) घटता जाता है। यही कारण है कि इसका आलेख समकोणीय अतिपरवलय के रूप में दोनों चतुर्थांशों में नीचे की ओर ढलान रखता है और यह फलन ह्रासमान कहलाता है।

सर्वप्रथम प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात करने के लिए x³ बराबर x जोड़ 6 रखने पर x³ घटा x घटा 6 बराबर शून्य प्राप्त होता है, जिसका वास्तविक मूल x बराबर 2 है। अतः क्षेत्र x बराबर शून्य से x बराबर दो तक फैला है और वहाँ रेखा वक्र के ऊपर रहती है। क्षेत्रफल शून्य से दो तक (x जोड़ 6 घटा x³) dx के समाकलन से मिलेगा। समाकलन करने पर x²/2 जोड़ 6x घटा x⁴/4 प्राप्त होता है, जिसमें सीमाएँ रखने पर 2 जोड़ 12 घटा 4 अर्थात् 10 वर्ग इकाई उत्तर आता है।

किसी खण्डशः परिभाषित फलन के संतत होने के लिए विभाजन बिन्दुओं पर बायाँ पक्षीय सीमा, दायाँ पक्षीय सीमा तथा फलन का मान तीनों बराबर होने चाहिए। x बराबर तीन पर संततता से 3a जोड़ b बराबर 1 प्राप्त होता है, तथा x बराबर पाँच पर संततता से 5a जोड़ b बराबर 7 मिलता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर 2a बराबर 6 अर्थात् a बराबर 3 निकलता है। इसे प्रथम समीकरण में रखने पर b बराबर 1 घटा 9 अर्थात् ऋण 8 प्राप्त होता है।

माना ∛x बराबर t तथा ∛2 बराबर p, तब x बराबर t³ तथा 2 बराबर p³ होगा और x का 2 की ओर अग्रसर होना t का p की ओर अग्रसर होने के तुल्य है। अब व्यंजक (t³ घटा p³) बटा (t घटा p) बन जाता है, जो मानक सीमा सूत्र के अनुसार 3p² के बराबर होती है। यहाँ p बराबर 2 की घात एक बटा तीन है, अतः p² बराबर 2 की घात दो बटा तीन होगा। इस प्रकार सीमा का मान 3 गुणा 2 की घात दो बटा तीन प्राप्त होता है।

दिए गए व्यंजक में मूल के भीतर वही अनन्त व्यंजक पुनः आ रहा है, अतः उसे y से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इससे y बराबर मूल (sin x जोड़ y) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर y² बराबर sin x जोड़ y बनता है। अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2y गुणा dy/dx बराबर cos x जोड़ dy/dx मिलता है। dy/dx को एक ओर लाने पर dy/dx गुणा (2y घटा 1) बराबर cos x होता है, अतः dy/dx बराबर cos x बटा (2y घटा 1) प्राप्त होता है।

अंश में प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग है, जिसका सूत्र n(n जोड़ 1) बटा 2 होता है। इसे हर n² से भाग देने पर व्यंजक n(n जोड़ 1) बटा 2n² बनता है, जिसे सरल करने पर (n जोड़ 1) बटा 2n प्राप्त होता है। इसे पुनः लिखने पर आधा गुणा (1 जोड़ 1/n) मिलता है। अब n के अनन्त की ओर बढ़ने पर 1/n शून्य की ओर अग्रसर होता है, अतः कोष्ठक का मान एक हो जाता है और सम्पूर्ण सीमा का मान आधा प्राप्त होता है।

व्यंजक x घटा [x] वस्तुतः x का भिन्नात्मक भाग है, जो सदैव शून्य तथा एक के बीच रहता है और प्रत्येक इकाई अन्तराल में स्वयं को दोहराता है। समाकलन को दो भागों में बाँटना होगा, क्योंकि महत्तम पूर्णांक फलन शून्य पर अपना मान बदलता है। ऋण एक से शून्य तक [x] बराबर ऋण एक होता है, अतः वहाँ फलन x जोड़ 1 बनता है और उसका समाकल आधा आता है। शून्य से एक तक [x] बराबर शून्य होने से फलन x रहता है और उसका समाकल भी आधा है। दोनों जोड़ने पर उत्तर एक प्राप्त होता है।

गोले का आयतन चार तिहाई πr³ तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² होता है। दोनों की त्रिज्या के सापेक्ष दर निकालने पर dV/dr बराबर 4πr² तथा dS/dr बराबर 8πr प्राप्त होते हैं। शृंखला नियम के अनुसार आयतन में पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष परिवर्तन की दर dV/dS बराबर dV/dr को dS/dr से भाग देकर मिलती है। यह 4πr² बटा 8πr अर्थात् r बटा 2 के बराबर होती है। यहाँ त्रिज्या 2 सेंटीमीटर दी गई है, अतः अभीष्ट दर 2 बटा 2 अर्थात् 1 प्राप्त होती है।