Mathematics - Sequences and Series: 3 MCQs with Answers

दिया गया गुणनफल एक ही आधार 9 की घातों का है, अतः घातांकों को जोड़ा जा सकता है। घातांकों की श्रेणी 1/3 + 1/9 + 1/27 + … एक अनन्त गुणोत्तर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद 1/3 तथा सार्व अनुपात भी 1/3 है। अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योग a बटा एक घटा r के सूत्र से निकलता है, अतः योग 1/3 को 2/3 से भाग देने पर 1/2 प्राप्त होता है। इस प्रकार सम्पूर्ण गुणनफल 9 की घात एक बटा दो अर्थात् 9 का वर्गमूल बनता है, जो 3 है।

समान्तर श्रेणी के n वें पद का सूत्र a जोड़ (n घटा 1)d है। सातवाँ पद 34 तथा तेरहवाँ पद 64 दिया गया है, अतः a जोड़ 6d बराबर 34 तथा a जोड़ 12d बराबर 64 प्राप्त होते हैं। दोनों समीकरणों को घटाने पर 6d बराबर 30 अर्थात् d बराबर 5 निकलता है। इसे प्रथम समीकरण में रखने पर a बराबर 34 घटा 30 अर्थात् 4 मिलता है। अब अठारहवाँ पद a जोड़ 17d अर्थात् 4 जोड़ 17 गुणा 5 बराबर 4 जोड़ 85 अर्थात् 89 प्राप्त होता है।

दी गई श्रेणी वस्तुतः दो गुणोत्तर श्रेणियों का मिश्रण है, अतः विषम स्थान वाले तथा सम स्थान वाले पदों को अलग-अलग जोड़ना उचित है। पहली श्रेणी 1/2 जोड़ 1/2³ जोड़ 1/2⁵ जोड़ … है, जिसका प्रथम पद आधा तथा सार्व अनुपात एक चौथाई है, अतः उसका योग आधा बटा तीन चौथाई अर्थात् दो तिहाई होगा। दूसरी श्रेणी 1/3² जोड़ 1/3⁴ जोड़ … है, जिसका प्रथम पद एक बटा नौ तथा सार्व अनुपात एक बटा नौ है, अतः योग एक बटा आठ। दोनों जोड़ने पर 19 बटा 24 प्राप्त होता है।