Mathematics - Sets Relations and Functions: 8 MCQs with Answers

समुच्चय A में वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो चार से कड़ाई से बड़ी हैं, अतः चार स्वयं उसमें सम्मिलित नहीं है और उसे विवृत अन्तराल के रूप में लिखा जाता है। इसी प्रकार समुच्चय B में वे संख्याएँ हैं जो पाँच से कड़ाई से छोटी हैं, अतः पाँच भी सम्मिलित नहीं है। दोनों का सर्वनिष्ठ लेने पर वे संख्याएँ बचेंगी जो चार से बड़ी तथा पाँच से छोटी हों। चूँकि दोनों अन्त्य बिन्दु बाहर हैं, अतः उत्तर विवृत अन्तराल चार से पाँच के रूप में लिखा जाएगा।

महत्तम पूर्णांक फलन किसी वास्तविक संख्या से छोटे या बराबर सबसे बड़े पूर्णांक को लौटाता है। यह फलन एकैकी नहीं है, क्योंकि 2.1, 2.5 तथा 2.9 जैसी अनेक भिन्न संख्याओं का प्रतिबिम्ब समान रूप से 2 ही आता है। यह आच्छादी भी नहीं है, क्योंकि इसका परिसर केवल पूर्णांकों का समुच्चय है, जबकि सहप्रान्त सम्पूर्ण वास्तविक संख्याओं का समुच्चय दिया गया है; अतः 2.5 जैसी संख्याएँ किसी का भी प्रतिबिम्ब नहीं बनतीं। इसलिए यह न एकैकी है और न आच्छादी।

किसी समुच्चय का घात समुच्चय उसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है। किसी उपसमुच्चय के निर्माण में मूल समुच्चय के प्रत्येक अवयव के लिए केवल दो सम्भावनाएँ रहती हैं — या तो वह उपसमुच्चय में सम्मिलित होगा या नहीं। अतः n अवयवों के लिए कुल सम्भावनाएँ 2 की घात n हो जाती हैं। इसमें रिक्त समुच्चय तथा स्वयं मूल समुच्चय दोनों सम्मिलित रहते हैं। यदि केवल उचित उपसमुच्चय गिनने हों तो यह संख्या 2 की घात n में से एक घटाकर प्राप्त होती है।

प्रतिलोम ज्या फलन तभी परिभाषित होता है जब उसका कोष्ठक-मान ऋण एक तथा धन एक के बीच रहे, दोनों सीमाएँ सम्मिलित। अतः यहाँ ऋण 1 ≤ 2x घटा 3 ≤ 1 लिखा जाएगा। तीनों पक्षों में 3 जोड़ने पर 2 ≤ 2x ≤ 4 प्राप्त होता है, और फिर दो से भाग देने पर 1 ≤ x ≤ 2 मिलता है। चूँकि दोनों अन्त्य बिन्दु सम्मिलित हैं, अतः प्रान्त संवृत अन्तराल एक से दो के रूप में लिखा जाता है।

प्रश्नानुसार चाय पीने वालों की कुल संख्या 30 है और उनमें से 14 ऐसे हैं जो चाय पीते हैं किन्तु कॉफी नहीं। समुच्चय सिद्धांत के अनुसार केवल चाय पीने वालों की संख्या कुल चाय पीने वालों में से उन लोगों को घटाकर मिलती है जो दोनों पीते हैं। अतः 30 घटा दोनों पीने वालों की संख्या बराबर 14 होगा, जिससे दोनों पीने वालों की संख्या 16 प्राप्त होती है। यहाँ कुल पचास व्यक्तियों की संख्या का उपयोग इस उपप्रश्न में आवश्यक नहीं है।

मापांक की परिभाषा के अनुसार दो स्थितियाँ बनती हैं। जब x जोड़ 2 धनात्मक हो, अर्थात् x दो से बड़ा हो, तब हर का मान अंश के बराबर हो जाता है और फलन का मान एक हो जाता है। जब x जोड़ 2 ऋणात्मक हो, अर्थात् x ऋण दो से छोटा हो, तब हर ऋण (x जोड़ 2) के बराबर होता है और फलन का मान ऋण एक हो जाता है। x बराबर ऋण दो पर फलन परिभाषित ही नहीं है, अतः परिसर में केवल दो अवयव ऋण एक तथा एक रहते हैं।

यहाँ x तथा y दोनों को प्राकृत संख्याएँ होना चाहिए। समीकरण से y बराबर (8 घटा x) बटा 2 प्राप्त होता है, अतः x का ऐसा मान लेना होगा जिससे y भी प्राकृत संख्या बने। x बराबर 2 पर y बराबर 3, x बराबर 4 पर y बराबर 2 तथा x बराबर 6 पर y बराबर 1 मिलता है। x बराबर 8 लेने पर y शून्य हो जाता है, जो प्राकृत संख्या नहीं है, अतः वह स्वीकार्य नहीं। इसलिए प्रान्त में केवल 2, 4 तथा 6 आते हैं।

संयुक्त फलन gof का अर्थ है पहले f लगाना और फिर उसके परिणाम पर g लगाना, अतः इसके लिए आवश्यक है कि f का परिसर g के प्रान्त का उपसमुच्चय हो। यहाँ f का प्रान्त शून्य से अनन्त तक है और उसका परिसर भी अऋणात्मक संख्याएँ ही हैं। किन्तु प्रश्न में दिए गए विशेष प्रतिबन्धों के अनुसार परिसर एवं प्रान्त में आवश्यक संगति स्थापित नहीं होती, इसलिए यह संयोजन वैध नहीं बनता। अतः दिए गए विकल्पों के अनुसार gof परिभाषित नहीं है।