Mathematics: 425 MCQs with Answers

सबसे पहले भीतरी करणी हल करें। 1 − 2176/2401 = (2401 − 2176)/2401 = 225/2401। अब √(225/2401) = 15/49, क्योंकि 15² = 225 तथा 49² = 2401। इसे बाहरी करणी में रखने पर √(1 + 15/49) = √(64/49) = 8/7। प्रश्नानुसार यह मान 1 + x/7 के बराबर है, अतः 1 + x/7 = 8/7। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर x/7 = 8/7 − 1 = 1/7, जिससे x = 1 प्राप्त होता है। ऐसे प्रश्नों में सदैव भीतरी करणी से बाहर की ओर हल करना चाहिए।

दिया है 27^(x − 2/3) = 81। दोनों पक्षों को 3 के आधार पर लिखते हैं — 27 = 3³ तथा 81 = 3⁴। इससे (3³)^(x − 2/3) = 3⁴, अर्थात् 3^(3x − 2) = 3⁴। आधार समान होने पर घातांक बराबर होंगे, अतः 3x − 2 = 4, जिससे 3x = 6 और x = 2। अब पूछा गया मान ज्ञात करते हैं — 2^(3x + 1) = 2^(3 × 2 + 1) = 2⁷ = 128। घातांक के नियम (aᵐ)ⁿ = a^(mn) का प्रयोग ऐसे प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण है। अतः सही उत्तर 128 है।

माना पहली संख्या a तथा दूसरी संख्या b है। प्रश्नानुसार a का 30% = b का 1/6, अर्थात् 30a/100 = b/6। इसे सरल करने पर 3a/10 = b/6, जिससे 18a = 10b अथवा b = 1.8a। साथ ही a + b = 140 दिया है। b का मान रखने पर a + 1.8a = 140, अर्थात् 2.8a = 140, जिससे a = 50 और b = 1.8 × 50 = 90। अतः दोनों संख्याएँ 50 और 90 हैं और बड़ी संख्या 90 है। सत्यापन — 50 का 30% = 15 तथा 90 का 1/6 = 15, दोनों बराबर हैं।

यह त्रिभुज की भुजाओं तथा कोणों के संबंध का एक मूलभूत प्रमेय है। इसके अनुसार यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ असमान हों, तो बड़ी भुजा के सामने का कोण छोटी भुजा के सामने के कोण से बड़ा होता है। इसका विलोम भी सत्य है — बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है। उदाहरण के लिए समकोण त्रिभुज में सबसे बड़ा कोण 90° का होता है और उसके सामने का कर्ण सबसे बड़ी भुजा होता है। इसी प्रमेय से त्रिभुज असमिका भी सिद्ध होती है। अतः सही उत्तर 'बड़ा' है।

शब्द ASSESSMENT में कुल 10 अक्षर हैं। इनमें S चार बार तथा E दो बार आया है, जबकि A, M, N और T एक-एक बार आए हैं। जब कुछ वस्तुएँ पुनरावृत्त हों, तो व्यवस्थाओं की संख्या का सूत्र है n! ÷ (p! × q! × …)। यहाँ मान रखने पर 10! ÷ (4! × 2!) = 3628800 ÷ (24 × 2) = 3628800 ÷ 48 = 75600। इस प्रकार इन अक्षरों से कुल 75600 शब्द बनाए जा सकते हैं। ध्यान रहे कि यहाँ 'शब्द' से अर्थपूर्ण होना आवश्यक नहीं, केवल अक्षरों की व्यवस्था गिनी जाती है।

शंकु का आयतन V = (1/3)πr²h होता है। दोनों शंकुओं के लिए अनुपात लिखने पर V₁/V₂ = (r₁²h₁)/(r₂²h₂)। व्यास का अनुपात 4 : 5 है, अतः त्रिज्याओं का अनुपात भी 4 : 5 होगा और त्रिज्याओं के वर्गों का अनुपात 16 : 25। प्रश्नानुसार V₁/V₂ = 1/4। मान रखने पर 1/4 = (16/25) × (h₁/h₂), जिससे h₁/h₂ = (1/4) × (25/16) = 25/64। अतः उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 25 : 64 है, जो विकल्प (2) में दिया गया है।

दिया है √(7 + ∛x) = 4। सबसे पहले दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, जिससे वर्गमूल समाप्त हो जाता है — 7 + ∛x = 16। अब दोनों पक्षों से 7 घटाने पर ∛x = 9 प्राप्त होता है। घनमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करते हैं — x = 9³ = 729। सत्यापन — 729 का घनमूल 9 है, 7 + 9 = 16 तथा 16 का वर्गमूल 4 है, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है। ऐसे प्रश्नों में सदैव बाहरी मूल से भीतर की ओर बढ़ना चाहिए।

माना मूल भिन्न a/b है। अंश बढ़कर 450% अर्थात् 4.5a हो जाता है और हर बढ़कर 400% अर्थात् 4b हो जाता है। प्रश्नानुसार नई भिन्न 15/16 है, अतः 4.5a/4b = 15/16। इसे सरल करने पर (9a)/(8b) = 15/16, जिससे a/b = (15/16) × (8/9) = 120/144 = 5/6। अतः मूल भिन्न 5/6 है। सत्यापन — 5 का 450% = 22.5 तथा 6 का 400% = 24, और 22.5/24 = 15/16, जो दिया गया है। अतः सही उत्तर विकल्प (1) है।

सिक्कों की संख्या का अनुपात 7 : 8 : 12 है, अतः माना संख्याएँ 7x, 8x तथा 12x हैं। अब मूल्य निकालते हैं — 1 रुपये के सिक्कों का मूल्य 7x रुपये, 50 पैसे के सिक्कों का मूल्य 8x × 0.5 = 4x रुपये तथा 25 पैसे के सिक्कों का मूल्य 12x × 0.25 = 3x रुपये। कुल मूल्य = 7x + 4x + 3x = 14x रुपये। प्रश्नानुसार 14x = 560, जिससे x = 40। अतः 25 पैसे के सिक्कों की संख्या = 12x = 12 × 40 = 480। ध्यान रहे कि अनुपात संख्या का है, मूल्य का नहीं।

वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न अधिक विश्वसनीय एवं वैध होते हैं, क्योंकि उनके उत्तर निश्चित होते हैं और मूल्यांकन में परीक्षक की व्यक्तिगत राय का प्रभाव नहीं पड़ता। ये कम समय में पाठ्यक्रम के बड़े भाग को समेट लेते हैं और अंकन वस्तुनिष्ठ रहता है। इसके विपरीत निबन्धात्मक प्रश्न विचार-अभिव्यक्ति, संगठन तथा तार्किक क्रम का अच्छा आकलन करते हैं, परन्तु उनकी संख्या कम होने से वे सम्पूर्ण पाठ्यचर्या को नहीं समेट पाते और उनका मूल्यांकन आत्मनिष्ठ हो जाता है। अतः सही कथन विकल्प (3) है।

थैले में कुल 4 + 3 + 5 = 12 गेंदें हैं। दो गेंदें निकालने के कुल तरीके = ¹²C₂ = (12 × 11)/2 = 66। अब एक ही रंग की दो गेंदें आने के तरीके गिनते हैं — दो नीली = ⁴C₂ = 6, दो काली = ³C₂ = 3, तथा दो पीली = ⁵C₂ = 10। अनुकूल स्थितियाँ = 6 + 3 + 10 = 19। अतः अभीष्ट प्रायिकता = अनुकूल स्थितियाँ ÷ कुल स्थितियाँ = 19/66। ध्यान रहे कि यहाँ क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए संचय (कॉम्बिनेशन) का प्रयोग किया गया है।

एक पूर्ण चक्कर 2π रेडियन अर्थात् 360° का होता है, इसलिए 3π/2 रेडियन = (3/2) × 180° = 270°। घड़ी की मिनट की सूई 60 मिनट में पूरा 360° का कोण बनाती है, अर्थात् वह एक मिनट में 6° घूमती है। अब 270° का कोण बनाने में लगने वाला समय = 270 ÷ 6 = 45 मिनट। इसे अनुपात से भी हल कर सकते हैं — (270/360) × 60 = 45 मिनट। ध्यान रहे कि घंटे की सूई एक मिनट में केवल 0.5° घूमती है। अतः सही उत्तर 45 मिनट है।

यहाँ विद्यार्थी अपने पूर्व-अर्जित गणितीय ज्ञान का उपयोग एक नई एवं वास्तविक जीवन की परिस्थिति में कर रहा है, इसलिए यह ज्ञानोपयोग (एप्लीकेशन) उद्देश्य का उदाहरण है। ब्लूम के वर्गीकरण के संज्ञानात्मक पक्ष में उद्देश्यों का क्रम है — ज्ञान, अवबोध, ज्ञानोपयोग, विश्लेषण, संश्लेषण तथा मूल्यांकन। ज्ञान में केवल स्मरण होता है, अवबोध में अर्थ समझकर व्याख्या की जाती है, जबकि ज्ञानोपयोग में सीखे हुए नियमों को नई परिस्थिति में लागू किया जाता है। सर्जनात्मकता नवीन विचारों के सृजन से जुड़ी है। अतः सही उत्तर ज्ञानोपयोग है।

गणित की प्रकृति सटीक, स्पष्ट, व्यवस्थित, क्रमबद्ध तथा तार्किक होती है। इसमें प्रत्येक संकल्पना परिभाषित होती है, प्रत्येक कथन प्रमाण पर आधारित होता है और निष्कर्ष निगमनात्मक तर्क से निकाले जाते हैं, इसलिए गणित को 'विज्ञान की रानी' कहा जाता है। अस्पष्टता या द्विअर्थकता गणित के स्वभाव के विपरीत है, क्योंकि गणितीय भाषा में किसी प्रतीक या कथन के एक से अधिक अर्थ नहीं हो सकते। यही गुण गणित को अन्य विषयों से अलग करता है। अतः सही उत्तर 'अस्पष्टता' है।

दिए गए व्यंजक (x² − 6xy + 9y²) − 16 में पहला कोष्ठक एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि x² − 6xy + 9y² = (x − 3y)²। अतः व्यंजक (x − 3y)² − 16 बन जाता है। अब 16 को 4² लिखने पर यह (x − 3y)² − 4² के रूप में आ जाता है, जो दो वर्गों का अंतर है। सर्वसमिका a² − b² = (a + b)(a − b) का प्रयोग करने पर गुणनखंड मिलते हैं — (x − 3y + 4)(x − 3y − 4)। अतः सही उत्तर विकल्प (3) है।

माना रमेश तथा उसकी पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः 8x और 5x वर्ष है। आठ वर्ष बाद उनकी आयु 8x + 8 तथा 5x + 8 होगी और प्रश्नानुसार इनका अनुपात 3 : 2 है। अतः (8x + 8)/(5x + 8) = 3/2। तिर्यक गुणा करने पर 16x + 16 = 15x + 24, जिससे x = 8। इसलिए पुत्री की वर्तमान आयु = 5x = 5 × 8 = 40 वर्ष। सत्यापन — रमेश की आयु 64 वर्ष; आठ वर्ष बाद 72 और 48, जिनका अनुपात 3 : 2 है। अतः सही उत्तर 40 वर्ष है।

माना प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य 1 रुपया है। तब 6 वस्तुओं का क्रय मूल्य 6 रुपये होगा और प्रश्नानुसार 10 वस्तुओं का विक्रय मूल्य भी 6 रुपये है। अतः 10 वस्तुओं का क्रय मूल्य 10 रुपये तथा विक्रय मूल्य 6 रुपये हुआ, जिससे हानि = 10 − 6 = 4 रुपये। हानि प्रतिशत = (हानि / क्रय मूल्य) × 100 = (4/10) × 100 = 40%। चूँकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है, इसलिए यहाँ हानि होगी। अतः सही उत्तर 40% हानि है।

माना घर से विद्यालय की दूरी d किलोमीटर है। 20 किमी/घंटा की चाल से लगने वाला समय d/20 घंटे तथा 30 किमी/घंटा की चाल से d/30 घंटे होगा। दोनों समयों का अंतर 18 मिनट अर्थात् 18/60 = 3/10 घंटा है। अतः d/20 − d/30 = 3/10। बाईं ओर लघुत्तम लेकर (3d − 2d)/60 = d/60 प्राप्त होता है। इससे d/60 = 3/10, जिससे d = 18 किलोमीटर। सत्यापन — 18/20 घंटा = 54 मिनट तथा 18/30 घंटा = 36 मिनट, जिनका अंतर ठीक 18 मिनट है।

इस प्रश्न को सर्वसमिका a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) की सहायता से हल किया जाता है। यहाँ a = 986 तथा b = 742 है। अंश = 986³ − 742³ = (986 − 742) × (986² + 986 × 742 + 742²)। हर में ठीक (986² + 986 × 742 + 742²) ही दिया गया है, अतः यह पद अंश और हर से कट जाता है। शेष बचता है केवल a − b = 986 − 742 = 244। इस प्रकार बिना बड़ी गुणा किए उत्तर तुरंत प्राप्त हो जाता है। अतः सही उत्तर 244 है।

A का एक दिन का कार्य = 1/20 तथा B का एक दिन का कार्य = 1/10 है। दोनों मिलकर एक दिन में 1/20 + 1/10 = 3/20 भाग कार्य करते हैं। चार दिन में उन्होंने 4 × 3/20 = 12/20 = 3/5 भाग कार्य पूरा कर लिया। अतः शेष कार्य = 1 − 3/5 = 2/5 भाग। अब यह शेष कार्य केवल A को करना है, जो एक दिन में 1/20 भाग करता है। अभीष्ट दिन = (2/5) ÷ (1/20) = (2/5) × 20 = 8 दिन। अतः सही उत्तर 8 दिन है।