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Mathematics - क्षेत्रमिति: 49 MCQs with Answers

क्षेत्रमिति - Mathematics
Mathematics - क्षेत्रमिति

Mathematics- क्षेत्रमिति

क्षेत्रमिति से संबंधित बहुविकल्पीय प्रश्न, उत्तर एवं विस्तृत व्याख्या सहित — HTET, CTET एवं अन्य शिक्षक पात्रता परीक्षाओं हेतु।
18 min read 49 Questions

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Q21. एक त्रिभुजाकार प्रिज्म का आधार क्षेत्रफल 25 वर्ग सेमी है। यदि ऊँचाई 20% बढ़ा दी जाए, तो नया आयतन क्या होगा (मूल ऊँचाई 10 सेमी थी)?

Right Answer: 300 सेमी³

Explanation:

किसी भी प्रिज्म का आयतन आधार क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है। यहाँ आधार क्षेत्रफल 25 वर्ग सेंटीमीटर तथा मूल ऊँचाई 10 सेंटीमीटर है, इसलिए मूल आयतन 250 घन सेंटीमीटर था। अब ऊँचाई में 20% की वृद्धि की गई है, अतः नई ऊँचाई 10 का 120% अर्थात 12 सेंटीमीटर हो जाती है। आधार क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है, इसलिए नया आयतन 25 गुणा 12 अर्थात 300 घन सेंटीमीटर बनता है। ध्यान दें कि केवल ऊँचाई बदलने पर आयतन उसी अनुपात में बढ़ता है।
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Q22. एक वृत्ताकार डिस्क की त्रिज्या 10% कम हो जाती है। इसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की कमी होगी?

Right Answer: 19%

Explanation:

वृत्त का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है, इसलिए त्रिज्या में परिवर्तन का प्रभाव क्षेत्रफल पर वर्ग के रूप में पड़ता है। त्रिज्या 10% घटने पर नई त्रिज्या मूल की 0.9 गुना रह जाती है। अब क्षेत्रफल 0.9 के वर्ग अर्थात 0.81 गुना हो जाएगा। इसका अर्थ है कि नया क्षेत्रफल मूल का 81% रह गया, अतः कमी 100 में से 81 घटाकर 19 प्रतिशत हुई। इसे सूत्र से भी निकाल सकते हैं, जिसमें कमी बराबर 2a घटा a का वर्ग बटा 100 होती है।
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Q23. उपर्युक्त जानकारी के आधार पर, सबसे बड़े संभावित गोलाकार बगीचे के क्षेत्रफल और सबसे बड़े संभावित वर्गाकार बगीचे के क्षेत्रफल का अनुमानित अनुपात क्या है?

एक बिल्डर के पास 100 मीटर बाड़ लगाने वाला तार है। वह इस तार का उपयोग एक गोलाकार बगीचे या एक वर्गाकार बगीचे को घेरने के लिए कर सकता है। वह घेरे हुए क्षेत्र को अधिकतम करना चाहता है और पूरे 100 मीटर तार का उपयोग करता है।

Right Answer: 1.27:1

Explanation:

पहले वृत्ताकार बगीचे पर विचार कीजिए। परिधि 100 मीटर होने से त्रिज्या 100 बटा 2 पाई अर्थात लगभग 15.92 मीटर बनती है और क्षेत्रफल पाई गुणा त्रिज्या का वर्ग करने पर लगभग 795.8 वर्ग मीटर आता है। अब वर्गाकार बगीचे में परिमाप 100 मीटर होने से प्रत्येक भुजा 25 मीटर होगी और क्षेत्रफल 625 वर्ग मीटर बनेगा। दोनों का अनुपात 795.8 बटा 625 अर्थात लगभग 1.27 अनुपात 1 प्राप्त होता है। वास्तव में यह अनुपात सदैव 4 बटा पाई के बराबर रहता है, इसीलिए वृत्त सबसे अधिक क्षेत्रफल घेरता है।
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Q24. एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार बर्तन तेल से भरा है। 7 सेमी त्रिज्या वाला एक ठोस अर्धगोलाकार पत्थर पूरी तरह से उसमें डूब जाता है, और तेल का स्तर 3 सेमी बढ़ जाता है। बेलन की त्रिज्या क्या है?

Right Answer: 8.73 सेमी

Explanation:

जब कोई ठोस पूरी तरह डूबता है तो वह अपने आयतन के बराबर द्रव हटाता है, और यही हटा हुआ द्रव बेलन में स्तर बढ़ाता है। अर्धगोले का आयतन दो तिहाई पाई गुणा त्रिज्या का घन होता है। त्रिज्या 7 का घन 343 है, इसलिए आयतन दो तिहाई पाई गुणा 343 अर्थात लगभग 718.4 घन सेंटीमीटर बनता है। दूसरी ओर बेलन में बढ़ा हुआ आयतन पाई गुणा R का वर्ग गुणा 3 है। दोनों को बराबर रखने पर R का वर्ग लगभग 76.2 आता है, जिसका वर्गमूल लगभग 8.73 सेंटीमीटर है।
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Q25. एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 120° और त्रिज्या 7 सेमी है। उसी वृत्त के एक अन्य त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 2π/3 रेडियन है। पहले त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का दूसरे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से अनुपात क्या है?

Right Answer: 1:1

Explanation:

इस प्रश्न में असली परीक्षा इकाई पहचानने की है। दूसरे त्रिज्यखंड का कोण 2 पाई बटा 3 रेडियन में दिया गया है, जिसे डिग्री में बदलने के लिए 180 बटा पाई से गुणा करना होगा। ऐसा करने पर 2 गुणा 180 बटा 3 अर्थात ठीक 120 डिग्री प्राप्त होता है। इस प्रकार दोनों त्रिज्यखंडों का केंद्रीय कोण समान है और दोनों एक ही वृत्त के हैं, इसलिए त्रिज्या भी समान है। समान कोण और समान त्रिज्या होने पर क्षेत्रफल भी बराबर होंगे, अतः अनुपात 1 अनुपात 1 है।
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Q26. एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। तिर्यक ऊँचाई क्या है?

Right Answer: 25 सेमी

Explanation:

लम्ब वृत्तीय शंकु में त्रिज्या, ऊर्ध्वाधर ऊँचाई तथा तिर्यक ऊँचाई मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं, जिसमें तिर्यक ऊँचाई कर्ण होती है। इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार तिर्यक ऊँचाई का वर्ग त्रिज्या के वर्ग और ऊँचाई के वर्ग के योग के बराबर होता है। यहाँ सात का वर्ग उनचास तथा चौबीस का वर्ग पाँच सौ छिहत्तर है, जिनका योग छह सौ पच्चीस होता है। छह सौ पच्चीस का वर्गमूल पच्चीस है। अतः शंकु की तिर्यक ऊँचाई 25 सेंटीमीटर है।
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Q27. एक त्रिभुजाकार प्रिज्म का आधार क्षेत्रफल 25 वर्ग सेमी है। यदि ऊँचाई 20% बढ़ा दी जाए, तो नया आयतन क्या होगा (मूल ऊँचाई 10 सेमी थी)?

Right Answer: 300 सेमी³

Explanation:

प्रिज्म का आयतन आधार क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है। मूल स्थिति में आधार क्षेत्रफल पच्चीस वर्ग सेंटीमीटर तथा ऊँचाई दस सेंटीमीटर है, अतः मूल आयतन दो सौ पचास घन सेंटीमीटर होगा। अब ऊँचाई में बीस प्रतिशत की वृद्धि की गई है, इसलिए नई ऊँचाई दस का एक सौ बीस प्रतिशत अर्थात बारह सेंटीमीटर हो जाएगी। नया आयतन पच्चीस गुणा बारह बराबर तीन सौ घन सेंटीमीटर होगा। ध्यान दें कि आधार अपरिवर्तित रहने पर आयतन भी ऊँचाई के अनुपात में ही बढ़ता है।
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Q28. एक वृत्ताकार डिस्क की त्रिज्या 10% कम हो जाती है। इसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की कमी होगी?

Right Answer: 19%

Explanation:

वृत्त का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है। माना मूल त्रिज्या दस इकाई है, तो क्षेत्रफल पाई गुणा सौ के बराबर होगा। त्रिज्या में दस प्रतिशत की कमी होने पर नई त्रिज्या नौ इकाई रह जाती है और नया क्षेत्रफल पाई गुणा इक्यासी हो जाता है। इस प्रकार क्षेत्रफल में उन्नीस इकाई की कमी आई, जो मूल सौ इकाई की तुलना में उन्नीस प्रतिशत है। इसे सूत्र से भी निकाला जा सकता है, जिसमें दो गुना x घटा x का वर्ग बटा सौ रखा जाता है। अतः सही उत्तर 19% है।
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Q29. एक बिल्डर के पास 100 मीटर बाड़ लगाने वाला तार है। पूरे 100 मीटर तार का उपयोग करके, सबसे बड़े संभावित गोलाकार बगीचे के क्षेत्रफल और सबसे बड़े संभावित वर्गाकार बगीचे के क्षेत्रफल का अनुमानित अनुपात क्या है?

Right Answer: 1.27:1

Explanation:

यदि पूरा तार वृत्त की परिधि बनाता है तो दो पाई r बराबर सौ होगा, जिससे त्रिज्या लगभग 15.92 मीटर प्राप्त होती है और क्षेत्रफल लगभग 795.8 वर्ग मीटर आता है। यदि वही तार वर्ग का परिमाप बनाता है तो प्रत्येक भुजा पच्चीस मीटर होगी और क्षेत्रफल छह सौ पच्चीस वर्ग मीटर होगा। अब दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात 795.8 बटा 625 अर्थात लगभग 1.27 प्राप्त होता है। यह परिणाम इस तथ्य को दर्शाता है कि समान परिमाप में वृत्त सबसे अधिक क्षेत्रफल घेरता है। अतः सही उत्तर 1.27:1 है।
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Q30. एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार बर्तन तेल से भरा है। 7 सेमी त्रिज्या वाला एक ठोस अर्धगोलाकार पत्थर पूरी तरह से उसमें डूब जाता है, और तेल का स्तर 3 सेमी बढ़ जाता है। बेलन की त्रिज्या क्या है?

Right Answer: 8.73 सेमी

Explanation:

पत्थर के पूरी तरह डूबने पर तेल के स्तर में जो वृद्धि होती है, उसका आयतन पत्थर के आयतन के बराबर होता है। अर्धगोले का आयतन दो तिहाई पाई गुणा त्रिज्या का घन होता है, अतः सात सेंटीमीटर त्रिज्या के लिए यह दो तिहाई पाई गुणा तीन सौ तैंतालीस बनता है। बेलन में बढ़े हुए तेल का आयतन पाई गुणा R का वर्ग गुणा तीन होगा। दोनों को बराबर रखकर पाई को काटने पर R का वर्ग लगभग 76.22 प्राप्त होता है। इसका वर्गमूल लगभग 8.73 सेंटीमीटर आता है, जो बेलन की त्रिज्या है।
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Published: 27 July 2026 | Last Updated: 03 September 2026 |

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Deepak - Educational Content Creator

Written by Deepak

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