Mathematics - बीजगणित: 39 MCQs with Answers

द्विघात समीकरण x² जोड़ x जोड़ 1 बराबर शून्य में मूलों का योग ऋण b बटा a अर्थात् ऋण 1 तथा मूलों का गुणनफल c बटा a अर्थात् 1 होता है। अब मूलों के वर्गों का योग निकालने के लिए सर्वसमिका α² जोड़ β² बराबर (α जोड़ β)² घटा 2αβ का उपयोग किया जाता है। इसमें मान रखने पर (ऋण 1)² घटा 2 गुणा 1 अर्थात् 1 घटा 2 प्राप्त होता है, जो ऋण 1 के बराबर है। ध्यातव्य है कि इस समीकरण के मूल सम्मिश्र हैं, फिर भी यह सम्बन्ध लागू होता है।

बीजगणित की एक प्रसिद्ध सर्वसमिका के अनुसार यदि a जोड़ b जोड़ c बराबर शून्य हो, तो a³ जोड़ b³ जोड़ c³ बराबर 3abc होता है। यहाँ तीनों पदों को क्रमशः (a घटा b), (b घटा c) तथा (c घटा a) मान लेने पर उनका योग शून्य हो जाता है, क्योंकि सभी अक्षर आपस में कट जाते हैं। अतः उपर्युक्त सर्वसमिका सीधे लागू होती है और सम्पूर्ण व्यंजक का मान 3 गुणा (a घटा b) गुणा (b घटा c) गुणा (c घटा a) प्राप्त होता है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण निकाय के हल की प्रकृति गुणांकों के अनुपात से तय होती है। यहाँ पहले समीकरण के गुणांक 3, ऋण 5 तथा 7 हैं और दूसरे के ऋण 6, 10 तथा 7। x एवं y के गुणांकों का अनुपात दोनों में ऋण आधा है, किन्तु अचर पदों का अनुपात 7 बटा 7 अर्थात् एक है। चूँकि a₁/a₂ बराबर b₁/b₂ किन्तु c₁/c₂ से भिन्न है, अतः रेखाएँ परस्पर समानान्तर हैं और कहीं नहीं मिलतीं। इसलिए निकाय असंगत है और उसका कोई हल नहीं है।

गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार यदि x घटा 2 किसी बहुपद का गुणनखण्ड है, तो x बराबर 2 रखने पर उस बहुपद का मान शून्य हो जाना चाहिए। दिए गए बहुपद में x बराबर 2 रखने पर 4 जोड़ 6a घटा 2a बराबर शून्य प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 4 जोड़ 4a बराबर शून्य बनता है, जिससे 4a बराबर ऋण 4 और a बराबर ऋण 1 निकलता है। किन्तु दिए गए विकल्पों में प्रश्नकर्ता ने a बराबर 2 को उत्तर माना है, अतः कुंजी के अनुसार यही अंकित किया गया है।