Mathematics - बीजगणित: 39 MCQs with Answers

व्यंजक 6 − x − 2x² के गुणनखंड ज्ञात करने हैं। पदों को घात के अनुसार क्रम में लिखने पर यह −2x² − x + 6 बनता है। सुविधा के लिए −1 बाहर निकालें — −(2x² + x − 6)। अब मध्य पद को तोड़ते हैं — 2x² + 4x − 3x − 6 = 2x(x + 2) − 3(x + 2) = (x + 2)(2x − 3)। अतः मूल व्यंजक = −(x + 2)(2x − 3) = (x + 2)(3 − 2x)। ऋण चिह्न को दूसरे कोष्ठक के भीतर ले जाने पर चिह्न बदल जाते हैं। अतः सही उत्तर विकल्प (2) है।

सबसे पहले भीतरी करणी हल करें। 1 − 2176/2401 = (2401 − 2176)/2401 = 225/2401। अब √(225/2401) = 15/49, क्योंकि 15² = 225 तथा 49² = 2401। इसे बाहरी करणी में रखने पर √(1 + 15/49) = √(64/49) = 8/7। प्रश्नानुसार यह मान 1 + x/7 के बराबर है, अतः 1 + x/7 = 8/7। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर x/7 = 8/7 − 1 = 1/7, जिससे x = 1 प्राप्त होता है। ऐसे प्रश्नों में सदैव भीतरी करणी से बाहर की ओर हल करना चाहिए।

दिया है 27^(x − 2/3) = 81। दोनों पक्षों को 3 के आधार पर लिखते हैं — 27 = 3³ तथा 81 = 3⁴। इससे (3³)^(x − 2/3) = 3⁴, अर्थात् 3^(3x − 2) = 3⁴। आधार समान होने पर घातांक बराबर होंगे, अतः 3x − 2 = 4, जिससे 3x = 6 और x = 2। अब पूछा गया मान ज्ञात करते हैं — 2^(3x + 1) = 2^(3 × 2 + 1) = 2⁷ = 128। घातांक के नियम (aᵐ)ⁿ = a^(mn) का प्रयोग ऐसे प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण है। अतः सही उत्तर 128 है।

दिया है √(7 + ∛x) = 4। सबसे पहले दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, जिससे वर्गमूल समाप्त हो जाता है — 7 + ∛x = 16। अब दोनों पक्षों से 7 घटाने पर ∛x = 9 प्राप्त होता है। घनमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करते हैं — x = 9³ = 729। सत्यापन — 729 का घनमूल 9 है, 7 + 9 = 16 तथा 16 का वर्गमूल 4 है, जो दिए गए समीकरण से मेल खाता है। ऐसे प्रश्नों में सदैव बाहरी मूल से भीतर की ओर बढ़ना चाहिए।

दिए गए व्यंजक (x² − 6xy + 9y²) − 16 में पहला कोष्ठक एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि x² − 6xy + 9y² = (x − 3y)²। अतः व्यंजक (x − 3y)² − 16 बन जाता है। अब 16 को 4² लिखने पर यह (x − 3y)² − 4² के रूप में आ जाता है, जो दो वर्गों का अंतर है। सर्वसमिका a² − b² = (a + b)(a − b) का प्रयोग करने पर गुणनखंड मिलते हैं — (x − 3y + 4)(x − 3y − 4)। अतः सही उत्तर विकल्प (3) है।

इस प्रश्न को सर्वसमिका a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) की सहायता से हल किया जाता है। यहाँ a = 986 तथा b = 742 है। अंश = 986³ − 742³ = (986 − 742) × (986² + 986 × 742 + 742²)। हर में ठीक (986² + 986 × 742 + 742²) ही दिया गया है, अतः यह पद अंश और हर से कट जाता है। शेष बचता है केवल a − b = 986 − 742 = 244। इस प्रकार बिना बड़ी गुणा किए उत्तर तुरंत प्राप्त हो जाता है। अतः सही उत्तर 244 है।

यहाँ * एक परिभाषित संक्रिया है, जिसके लिए a * b = a² + b² − ab दिया गया है। पहले 8 * 7 ज्ञात करते हैं — 8² + 7² − 8 × 7 = 64 + 49 − 56 = 57। अब 3 * 5 ज्ञात करते हैं — 3² + 5² − 3 × 5 = 9 + 25 − 15 = 19। प्रश्नानुसार अभीष्ट मान = 57 − 19 = 38। ऐसे प्रश्नों में दिए गए नियम का ही पालन करना चाहिए, सामान्य गुणा-भाग के नियम लागू नहीं होते। अतः सही उत्तर 38 है।

यदि कोई बहुपद (x + 3) से पूर्णतः विभाजित है, तो शेषफल प्रमेय के अनुसार x = −3 रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाना चाहिए। दिए गए बहुपद x³ + kx + 12 में x = −3 रखने पर (−3)³ + k(−3) + 12 = 0, अर्थात् −27 − 3k + 12 = 0। इसे सरल करने पर −15 − 3k = 0, जिससे k = −5 प्राप्त होता है। सत्यापन — x³ − 5x + 12 में x = −3 रखने पर −27 + 15 + 12 = 0, जो सही है। अतः k का मान −5 है।

मापांक की परिभाषा के अनुसार |x जोड़ 2| ≤ 5 का अर्थ है कि x जोड़ 2 का मान ऋण 5 तथा धन 5 के बीच रहेगा, दोनों सीमाएँ सम्मिलित। अतः असमिका ऋण 5 ≤ x जोड़ 2 ≤ 5 के रूप में लिखी जाती है। अब तीनों पक्षों में से 2 घटाने पर ऋण 7 ≤ x ≤ 3 प्राप्त होता है। चूँकि असमिका में बराबर का चिह्न सम्मिलित है, अतः दोनों अन्त्य बिन्दु हल में आएँगे और हल समुच्चय संवृत अन्तराल के रूप में ऋण 7 से 3 तक लिखा जाएगा।

द्विपद प्रमेय के अनुसार (x जोड़ 2y) की घात नौ के विस्तार का व्यापक पद C(9, r) गुणा x की घात (9 घटा r) गुणा (2y) की घात r होता है। हमें x की घात छह तथा y की घात तीन चाहिए, अतः r बराबर 3 लेना होगा, जिससे x की घात भी ठीक छह हो जाती है। अब गुणांक C(9,3) गुणा 2³ के बराबर होगा। C(9,3) का मान 84 है तथा 2³ बराबर 8, अतः अभीष्ट गुणांक 84 गुणा 8 अर्थात् 672 प्राप्त होता है।